Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. En bilinen fraktal kümelerinden birisi olan Mandelbrot kümesinin C# ile oluşturulmuş hali aşağıdadır.

using System;
using System.Drawing;
using System.Numerics;

namespace SG.Algoritma
{
    public class Fractal
    {
        // Mandelbort kümesinde, yarıçağı 2'den büyük her karmaşık sayı çemberi sonsuza götürmektedir.
        private const int MaxMagnitude = 2;

        // Maksimum iterasyon sayısı
        private const int MaxIterations = 1000;

        // Karmaşık sayı koordinat sisteminde, Mandelbort kümesinin bölgesi.
        // Mandelbort kümesinin sadece bir kısmını çizmek için farklı bir bölge verilebilir. 
        private static Complex AreaMin = new Complex(-2, -2);
        private static Complex AreaMax = new Complex(2, 2);

        /// <summary>
        /// Mandelbort kümesi imajı oluşturuluyor
        /// </summary>
        /// <param name="dimension">Oluşacak imajın genişlik ve yükseklik değeri (Kare imaj oluşturulacak)</param>
        public static Bitmap GenerateBitmap(int dimension)
        {
            return Fractal.GenerateBitmap(dimension, Fractal.AreaMin, Fractal.AreaMax);
        }

        /// <summary>
        /// Mandelbort kümesi imajı oluşturuluyor
        /// </summary>
        /// <param name="width">Oluşacak imajın genişliği. Yükseklik, çizilmek istenen bölgeyenin genişlik ve yükseklik değerlerine bakılarak belirlenecek.</param>
        /// <param name="areaMin">Karmaşık sayo kooordinat sisteminde, Mandelbort kümesinin sadece belirli bir bölgeye karşılık düşen kısmı çizdirilmek istendiği zaman, bu bölgenin sol alt kösesi</param>
        /// <param name="areaMax">Sağ üst köşe</param>
        public static Bitmap GenerateBitmap(int width, Complex areaMin, Complex areaMax)
        {
            var height = (int)(width * (areaMax - areaMin).Imaginary / (areaMax - areaMin).Real);

            // Boş bir bitmap oluştur
            var bitmap = new Bitmap(width, height);

            // Oluşturulacak imajın her piksel değerine karşılık düşen karmaşık sayı oluşturulacak.
            // Oluşturacağımız karmaşık sayıların, seçtiğimiz bölge içerisinde kalması gerekmektedir.
            
            var rScale = (areaMax - areaMin).Real / width;
            var iScale = (areaMax - areaMin).Imaginary / height;

            for (var x = 0; x < width; x++)
            {
                // Karmaşık sayısının real kısmı
                var real = areaMin.Real + x * rScale;

                for (var y = 0; y < height; y++)
                {
                    // Karmaşık sayısının imaginary kısmı
                    var imaginary = areaMin.Imaginary + y * iScale;

                    // Mandelbort kümesi iterasyon değeri hesaplanıyor.
                    var iteration = Fractal.CalculateIteration(new Complex(real, imaginary));

                    // Iterasyon değerine göre noktanın rengi ayarlanıyor.
                    bitmap.SetPixel(x, y, Fractal.GetColor(iteration));
                }
            }

            return bitmap;
        }

        private static int CalculateIteration(Complex c)
        {
            var z = new Complex();
            var iteration = 0;

            // MaxIterations adedince f(z) = z^2 + c işlemini uygula
            // İşlem sonucu Mandelbort kümesi içerisinde kalmaya devam ettiği sürece işlemi tekrarla
            while (iteration < Fractal.MaxIterations && z.Magnitude < Fractal.MaxMagnitude)
            {
                z = z * z + c;
                iteration++;
            }

            return iteration;
        }

        /// <summary>
        /// // Iterasyona karşılık renk seçiliyor.
        /// </summary>
        private static Color GetColor(int iteration)
        {
            // Rasgele bir renk seçiliyor.
            // 256 tane rengin olduğu bir liste oluşturularak, listeden iteration % 256. renk de seçilebilir.
            // Ya da, oluşan imajın tek renkten oluşmasını istiyorsak, Color.FromArgb(iteration % 256, 0, 0) rengi seçilebilir. Bu durumda kırmızı toplanda imaj oluşacaktır.

            return Color.FromArgb((iteration * iteration * iteration) % 256, (iteration * iteration) % 256, (iteration) % 256);
        }
    }
}

Mandelbrot kümesini fraktal resmini oluşturmak için, ilgili metot aşağıdaki şekilde çağrılabilir. Bu durumda en üstte yer alan resim oluşacaktır.

var bitmap = Fractal.GenerateBitmap(800);

bitmap.Save(@"D:\mandelbort.png", ImageFormat.Png);

Mandelbrot fraktalının sadece belirli bir bölgesini çizdirmek için, ilgili metot aşağıdaki şekilde çağrılabilir. Böylece fraktalın istenilen bölgesi daha detaylı bir şekilde çizdirilebilir.

var bitmap = Fractal.GenerateBitmap(800, new Complex(-0.4, -1.3), new Complex(0.1, -0.5));